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已知x+2y+3z=12,且x²+y²+z²=xy+yz+xz,求x+y²+z³的值
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已知x+2y+3z=12,且x²+y²+z²=xy+yz+xz,求x+y²+z³的值
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答案和解析
x²+y²+z²=xy+yz+xz
2x²+2y²+2z²=2xy+2yz+2xz
x²-2xy+y²+y²-2yz+z²+z²-2xz+x²=0
(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=0
∴x-y=0
y-z=0
z-x=0
∴x=z
y=z
又∵x+2y+3z=12
∴z+2z+3z=12
∴z=2
∴x=y=z=2
∴x+y²+z³=2+4+8=14
2x²+2y²+2z²=2xy+2yz+2xz
x²-2xy+y²+y²-2yz+z²+z²-2xz+x²=0
(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=0
∴x-y=0
y-z=0
z-x=0
∴x=z
y=z
又∵x+2y+3z=12
∴z+2z+3z=12
∴z=2
∴x=y=z=2
∴x+y²+z³=2+4+8=14
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