已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:++≥5.(2)求+的最小值.

Question

已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.
(1)求证: + + ≥5.
(2)求 + 的最小值.

Answer 1

(1)见解析   (2) 18

(1)根据柯西不等式,得
[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)]( + + )≥(5x+4y+3z) ² ,
当且仅当 = = ,
即x= ,y= ,z= 时取等号.
因为5x+4y+3z=10,
所以 + + ≥ =5.
(2)根据平均值不等式,得
+ ≥2 =2· ,
当且仅当x ² =y ² +z ² 时,等号成立.
根据柯西不等式,得
(x ² +y ² +z ² )(5 ² +4 ² +3 ² )≥(5x+4y+3z) ² =100,
即x ² +y ² +z ² ≥2,当且仅当 = = 时,
等号成立.
综上, + ≥2·3 ² =18.
当且仅当x=1,y= ,z= 时,等号成立.
所以 + 的最小值为18.