高数题,50分!设e^z-xyz=0,求d2z/dx^2.姑且用d表示倒写的e.特别是求二阶导数的过程。

Question

高数题,50分!
设e^z-xyz= 0,求d2z/dx^2.
姑且用d表示倒写的e.
特别是求二阶导数的过程。

Answer 1

以下以z'表示z对x的偏导数,以z''表示z对x的二阶偏导数.
方程e^z－xyz＝0两边求x求偏导数：e^z×z'－yz－xy×z'＝0…………(*)
得z'＝yz/(e^z－xy)＝yz/(xyz－xy)＝z/(xz－x)
(*)边两边继续对x求偏导数：
e^z×z'×z'＋e^z×z''－y×z'－xy×z''＝0
所以,z''＝[e^z×z'－y]z'/[e^z－xy]
＝[2y^2ze^z－2xy^3z－y^2z^2e^z]/(e^z-xy)^3
＝(z^3-z^2+z)/[x^3×(z-1)^4]