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z=x/√(x^2+y^2)求∂^2z/∂x∂y
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z=x/√(x^2+y^2)求∂^2z/∂x∂y
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答案和解析
z=x/√(x^2+y^2)=x/r,r=√(x^2+y^2)
∂r/∂x=x/r,∂r/∂y=y/r
∂z/∂x=(r-x*∂r/∂x)/r^2=(r^2-x^2)/r^3=y^2/r^3
∂^2z/∂x∂y=∂(∂r/∂x)/∂y
=(2y*r^3-y^2*3r^2*∂r/∂y)/r^6
=(2y*r^3-3y^3*r)/r^6
=y(2r^2-3y^2)/r^5
=y(2x^2-y^2)/√(x^2+y^2)^5
∂r/∂x=x/r,∂r/∂y=y/r
∂z/∂x=(r-x*∂r/∂x)/r^2=(r^2-x^2)/r^3=y^2/r^3
∂^2z/∂x∂y=∂(∂r/∂x)/∂y
=(2y*r^3-y^2*3r^2*∂r/∂y)/r^6
=(2y*r^3-3y^3*r)/r^6
=y(2r^2-3y^2)/r^5
=y(2x^2-y^2)/√(x^2+y^2)^5
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