已知曲线y=y（x）经过原点，且在原点的切线平行于直线2x-y+5=0，而y（x）满足微分方程y″-6y′+9y=e3x，则此曲线的方程为y＝x(x+4)2e3xy＝x(x+4)2e3x．

Question

已知曲线y=y（x）经过原点，且在原点的切线平行于直线2x-y+5=0，而y（x）满足微分方程y″-6y′+9y=e^3x，则此曲线的方程为

y＝(x(x+4))/(2)e^3x

y＝(x(x+4))/(2)e^3x

．

Answer 1

由已知，得

y″−6y′+9y＝e3x

y(0)＝0，y′(0)＝2

．
由于y″-6y′+9y=0的特征方程r²-6r+9=0，解得特征根为r=3（2重），
所以y″-6y′+9y=0的通解为：
y＝(C1+C2x)e3x．
又由于y″-6y′+9y=e^3x的f（x）=e^3x，λ=3，故其特解为：
y^*=ax²e^3x，代入到y″-6y′+9y=e^3x，解得a＝(1)/(2)．
故y″-6y′+9y=e^3x的通解为：
y＝(C1+C2x)e3x+(1)/(2)x2e3x．
又y（0）=0，y′（0）=2，解得C₁=0，C₂=2，
故所求曲线方程为：y＝(x(x+4))/(2)e3x．