定义在（-1，1）的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（x+y1+xy），当x∈（-1，0）时有f（x）＞0．求证：f(15)+f(111)+…+f(1n2+3n+1)＞f(12)．

Question

定义在（-1，1）的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（(x+y)/(1+xy)），当x∈（-1，0）时有f（x）＞0．
求证：f((1)/(5))+f((1)/(11))+…+f((1)/(n2+3n+1))＞f((1)/(2))．

Answer 1

由已知令x=y=0代入f（x）+f（y）=f（(x+y)/(1+xy)），得，f（0）=0；
同理，再令y=-x，得f（-x）=-f（x），所以该函数是奇函数，
再结合f（x）+f（y）=f（(x+y)/(1+xy)），
∴f（(1)/(n2+3n+1)）=f（((1)/(n+1)−(1)/(n+2))/(1−(1)/(n+1)•(1)/(n+2))）=f（(1)/(n+1)）-f（(1)/(n+2)），
∴原式左边=f（(1)/(2)）-f（(1)/(3)）+f（(1)/(3)）-f（(1)/(4)）+f（(1)/(4)）-f（(1)/(5)）+…+f（(1)/(n+1)）-f（(1)/(n+2)）
=f（(1)/(2)）-f（(1)/(n+2)），
∵当x∈（-1，0）时有f（x）＞0，且f（x）是奇函数，
∴-f（(1)/(n+2)）=f（−(1)/(n+2)）＞0，
∴f（(1)/(2)）-f（(1)/(n+2)）＞f((1)/(2))，
即f((1)/(5))+f((1)/(11))+…+f((1)/(n2+3n+1))＞f((1)/(2))．