求积分∫10dy∫1y(e-x2+eysinx)dx．

Question

求积分

∫

1 0

dy

∫

1 y

(e-x2+eysinx)dx．

Answer 1

由于积分区域D={（x，y）|0≤y≤1，y≤x≤1}={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x}，因此

∫

1 0

dy

∫

1 y

(e-x2+eysinx)dx=

∫

1 0

dx

∫

x 0

(e-x2+eysinx)dy
=

∫

1 0

(xe-x2+exsinx-sinx)dx
=-(1)/(2)e-x2

|

1 0

+(1)/(2)ex(sinx-cosx)

|

1 0

+cosx

|

1 0

=(1)/(2)(1-e-1)+(1)/(2)e(sin1-cos1)+(1)/(2)+cos1-1
=(1)/(2)e(sin1-cos1)-(1)/(2)e-1+cos1