(2x-1)/根号下(9x^2-4)的不定积分

Question

(2x-1)/根号下(9x^2-4)的不定积分

Answer 1

∫［（2x－1）/√（9x^2－4）］dx
＝∫［2x/√（9x^2－4）］dx－∫［1/√（9x^2－4）］dx
＝∫［1/√（9x^2－4）］d（x^2）－（1/3）∫［1/√（x^2－4/9）］dx
＝（1/3）∫［1/√（x^2－4/9）］d（x^2－4/9）－（1/3）∫［1/√（x^2－4/9）］dx
＝（2/3）√（x^2－4/9）－（1/3）∫［1/√（x^2－4/9）］dx
＝（2/9）√（9x^2－4）－（1/3）∫［1/√（x^2－4/9）］dx.
令x＝（2/3）/sinu,则：
cosu＝√［1－（sinu）^2］＝√［1－（4/9）/x^2］＝［1/（3x）］√（9x^2－4）,
dx＝－（2/3）［cosu/（sinu）^2］du.
∴∫［（2x－1）/√（9x^2－4）］dx
＝（2/9）√（9x^2－4）＋（2/9）∫（sinu/cosu）［cosu/（sinu）^2］du
＝（2/9）√（9x^2－4）＋（2/9）∫［sinu/（sinu）^2］du
＝（2/9）√（9x^2－4）－（2/9）∫｛1/［1－（cosu）^2］｝d（cosu）
＝（2/9）√（9x^2－4）－（1/9）［1/（1＋cosu）＋1/（1－cosu）］d（cosu）
＝（2/9）√（9x^2－4）＋（1/9）ln（1－cosu）－（1/9）ln（1＋cosu）＋C
＝（2/9）√（9x^2－4）＋（1/9）ln［（1－cosu）^2/（sinu）^2］＋C
＝（2/9）√（9x^2－4）＋（2/9）ln｛1－［1/（3x）］√（9x^2－4）｝/［（2/3）/x］＋C
＝（2/9）√（9x^2－4）＋（2/9）ln［3x－√（9x^2－4）］＋C.