不等式a(x2+1x2)+x+1x+11a＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A.（0，+∞）B.（-∞，1]C.[0，+∞）D.[0，1）

Question

不等式a(x2+(1)/(x2))+x+(1)/(x)+11a＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. （0，+∞）
B. （-∞，1]
C. [0，+∞）
D. [0，1）

Answer 1

∵x＞0，∴x+(1)/(x)≥2√(x•(1)/(x))=2，当且仅当x=1时取等号．
令x+(1)/(x)＝t≥2，则x2+(1)/(x2)＝(x+(1)/(x))2−2＝t2−2．
∴不等式a(x2+(1)/(x2))+x+(1)/(x)+11a＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立⇔a（t²-2）+t+11a＞0对于t∈[2，+∞）恒成立．
⇔a＞((−t)/(t2+9))max，t∈[2，+∞）．
令f（t）=(−t)/(t2+9)，t∈[2，+∞）．f′(t)＝(−(t2+9)+2t2)/((t2+9)2)=(t2−9)/((t2+9)2)，
令f′（t）=0，解得t=0．
当2≤t＜3时，f′（t）＜0，此时函数f（x）单调递减；当3＜t时，f′（t）＞0，此时函数f（x）单调递增．
f（2）=−(2)/(13)，而当t→+∞时，f（t）→0，
∴a≥0．
故选C．