如图所示，在MN左侧QP上方有匀强电场．在MN右侧存在垂直于纸面的矩形匀强磁场（图中未画出），其左边界和下边界分别与MN、AA′重合．现有一带电粒子以初速度v0自O点沿水平方向射

Question

如图所示，在MN左侧QP上方有匀强电场．在MN右侧存在垂直于纸面的矩形匀强磁场（图中未画出），其左边界和下边界分别与MN、AA′重合．现有一带电粒子以初速度v ₀ 自O点沿水平方向射入，并恰好从P点射出，又经过在矩形有界磁场中的偏转，最终垂直于MN从A点向左水平射出．已知PA距离为d，O′P= (d)/(2) ，OO′距离L= (3)/(3) d．不计带电粒子重力．求：
（1）粒子从下极板边缘射出时的速度；
（2）粒子在从O到A经历的时间
（3）矩形有界磁场的最小面积．

Answer 1

（1）带电粒子在电场中平行极板方向匀速运动：
(3)/(3) d= v 0 t
竖直方向从静止开始做匀加速运动： (1)/(2) d=(1)/(2) v y t ，
解得 v y =

3

v 0
则粒子从下极板边缘射出时的速度为 v=

v

20

+

v

2y

=2 v 0 ，且与竖直方向成30 ⁰ 角．
（2）带电粒子在电场中运动的时间 t 1 =(3d)/(3 v0) ，由几何关系可得r= (d)/(3) ，
离开电场后先做匀速运动，匀速运动的时间 t 2 =(3)/(2 v0) r=(3)/(6 v0) d
然后进入磁场，在磁场中偏转120 ⁰ 到达A， t 3 =(T)/(3) =(2πr)/(6 v0) =(πd)/(9 v0)
所以带电粒子从O运动至A所用的总时间为
t=t ₁ +t ₂ +t ₃ = ((3)/(2) +(π)/(9) )(d)/(v0)
（3）由轨迹示意图可知，磁场区域宽等于轨迹半径r，高等于 (3r)/(2) ，而r= (d)/(3) ，
所以矩形有界磁场的最小面积为S=r× (3)/(2) r = (d2)/(6)
答：（1）粒子从下极板边缘射出时的速度为2v ₀ ，方向与竖直方向成30 ⁰ 角；
（2）粒子从O运动到A经历的时间时间为 ((3)/(2) +(π)/(9) )(d)/(v0) ；
（3）矩形有界磁场的最小面积为 (d2)/(6) ．