如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左面部分水平，右面部分为半径r=0.5m的竖直半圆，两导轨间距离d=0.3m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场中，两导轨

Question

如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左面部分水平，右面部分为半径r=0.5m的竖直半圆，两导轨间距离d=0.3m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场中，两导轨电阻不计．有两根长度均为d的金属棒ab、cd，均垂直导轨置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m₁=0.2kg、m₂=0.1kg，电阻分别为R₁=0.1Ω，R₂=0.2Ω．现让ab棒以v₀=10m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入圆轨道后，恰好能通过轨道最高点PP′，cd棒进入圆轨道前两棒未相碰，重力加速度g=10m/s²，求：

（1）ab棒开始向右运动时cd棒的加速度a₀；
（2）cd棒进入半圆轨道时ab棒的速度大小v₁；
（3）cd棒进入半圆轨道前ab棒克服安培力做的功W．

Answer 1

（1）ab棒开始向右运动时，设回路中电流为I，
根据导体棒切割磁场有：E=Bdv₀ ①
闭合电路欧姆定律：I=(E)/(R1+R2) ②
牛顿第二定律：F_安=m₂a₀ ③
安培力公式：F_安=BId ④
联立①②③④式代入题给数据得：a₀=(B2d2v0)/(m2(R1+R2))=(12×0．32×10)/(0.1×(0.1+0.2))=30m/s²
（2）设cd棒刚进入圆形轨道时的速度为v₂，ab开始运动至cd即将进入圆弧轨道的过程，
对ab和cd组成的系统运用动量守恒定律得：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂ ⑤
ab棒进入圆轨道至最高点的过程，对cd棒运用动能定理得：-m₂g•2r=(1)/(2)m2

v

2 p

-(1)/(2)m2

v

2 2

⑥
在半圆轨道的P点对cd棒运用牛顿第二定律可得：m₂g=m₂(v2p)/(r) ⑦
⑤⑥⑦式子联立得：v₁=(m1v0-m2•√(5gr))/(m1)=(0.2×10-0.1×√(5×10×0.5))/(0.2)=7.5m/s ⑧
（3）cd棒进入半圆轨道前对ab棒运用动能定理可得：W=(1)/(2)m1

v

2 0

-(1)/(2)m1

v

2 1

 ⑨
⑧⑨联立代入题给数据得：W=(1)/(2)×0.2×102-(1)/(2)×0.2×7．52=4.375J
答：（1）ab棒开始向右运动时cd棒的加速度为30m/s²；
（2）cd棒进入半圆轨道时ab棒的速度大小为7.5m/s；
（3）cd棒进入半圆轨道前ab棒克服安培力做的功为4.375J．