一水平匀速运动的传送带，右侧通过小圆弧连接光滑金属导轨，金属导轨与水平面成θ=30°角，传送带与导轨宽度均为L=1m．沿导轨方向距导轨顶端x1=0.7m到x2=2.4m之间存在垂直于导轨平面的匀

Question

一水平匀速运动的传送带，右侧通过小圆弧连接光滑金属导轨，金属导轨与水平面成θ=30°角，传送带与导轨宽度均为L=1m．沿导轨方向距导轨顶端x₁=0.7m到x₂=2.4m 之间存在垂直于导轨平面的匀强磁场区域abcd，ab、cd垂直于平行导轨，磁感应强度为B=1T．将质量均为m=0.1kg的导体棒P、Q相隔△t=0.2s分别从传送带的左端自由释放，两导体棒与传送带间的动摩擦因数均为μ=0.1，两棒到达传送带右端时已与传送带共速．导体棒P、Q在导轨上运动时，始终与导轨垂直且接触良好，P棒进入磁场时刚好匀速运动，Q棒穿出磁场时速度为4.85m/s．导体棒P、Q的电阻均为R=4Ω，导轨电阻不计，g=10m/s²求：
（1）传送带运行速度v₀；
（2）定性画出导体棒P的两端的电压U随时间t的变化关系（从进入磁场开始计时）？
（3）从导体棒P、Q自由释放在传送带上开始，到穿出磁场的过程中产生的总内能？

Answer 1

（1）导体棒P进入磁场时匀速运动，设切割磁场速度为v，
感应电动势：E=BLv，
感应电流：I=(E)/(2R)，
安培力：F_安=BIL，
由平衡条件可得：F_安=mgsinθ，
代入数据解得：v=4m/s，
导体棒P脱离传送带时已与皮带共速，设传送带速度为v₀，导体棒沿斜面下滑x₁过程中，由动能定理得：
mgsinθx₁=(1)/(2)mv²-(1)/(2)mv₀²，
代入数据解得：v₀=3m/s，则传送带运行速度为3m/s；
（2）导体棒P匀速进入磁场，两端电压U_p=(1)/(2)BLv，
导体棒P、Q都进入磁场共同加速时，U_p=BLv，
导体棒P出磁场后，只有导体棒Q切割磁场，
做变减速运动，Up=(1)/(2)BLv，
电压随时间的定性变化图象如图所示：
（3）导体棒P、Q在传送带上加速过程中，
系统产生的内能：Q₁=2μmgs_相对=0.9J，
导体棒P匀速进入磁场过程中：x₃=vt，
由能量守恒定律得：Q₂=mgsinθx₃=0.4J，
导体棒P、Q共同在磁场中加速下滑过程中，
x₄=x₂-x₁-x₃=0.9m，
设导体棒P出磁场时速度为u，
由运动学得：u²-v²=2ax₄，
代入数据解得：u=5m/s，
导体棒Q切割磁场时下滑距离为：x₅=0.8m，
由能的转化与守恒得：
Q₃=mgsinθx₃-(1)/(2)mv²+(1)/(2)mu²=0.47J；
整个过程中产生的总内能：Q=Q₁+Q₂+Q₃=1.77J；
答：（1）传送带运行速度为3m/s；
（2）导体棒P的两端的电压U随时间t的变化关系如图所示；
（3）从导体棒P、Q自由释放在传送带上开始，到穿出磁场的过程中产生的总内能为1.77J．