面试中给我的数学题.有十枚一元硬币,里面有一枚假硬币.有一个天平,最少用几步骤能找出哪个硬币是假的?请说出思路.

Question

面试中给我的数学题.
有十枚一元硬币,里面有一枚假硬币.有一个天平,最少用几步骤能找出哪个硬币是假的?
请说出思路.

Answer 1

按如下方法,在至多3次称量后,一定可找假币（假定假币与真币重量不同）：
第一次称量：将10枚硬币分成3,3,4枚的三堆,记为A,B,C,取A,B两堆分别放于天平两端称量.结果有两种情况之一出现：天平平衡或不平衡.
1 若天平平衡,则A,B中硬币都是真币,假币在C中四枚里.
第二次称量：将C中任取3枚（记为C1,C2,C3）与A中3枚（当然是真币）分别放于天平两端称量.结果又是两种情况可能出现：天平平衡与不平衡.
（1.1）若天平平衡,则从C中取出的那3枚硬币是真币,剩下的那枚C4是假币；
（1.2）若天平不平衡,则假币在C中取出的这3枚（C1,C2,C3）中.此时还可知道这3枚含1枚假币的硬币比3枚真币重或轻,进而知道假币比真币重或轻（不妨假设假币轻）.
第三次称量：从C中取出的3枚中任选2枚C1,C2放到天平两端进行称量.
（1.2.1）若平衡,则C1,C2是真币,C3是假币.
（1.2.2）若不平衡,则C1,C2中较轻的那枚是假币.
2.若第一次称量天平不平衡,那么假币在A,B两堆中,C中4枚都是真币.不妨假定A堆比B堆重.
第二次称量：将A堆与C堆中3枚真币分别放在天平两端称量.
（2.1）若平衡,说明A堆都是真币,假币在B堆中,且假币比真币轻.
第三次称量：从B中3枚（记为B1,B2,B3）选2枚B1,B2分别放到天平两端称量.
（2.1.1）若平衡,B1,B2为真币,B3是假币；
（2.1.2）若不平衡,B1,B2中较轻的那枚是假币.
（2.2）若不平衡,说明A堆中3枚中有假币,且假币比真币重.
第三次称量：从A中3枚（记为A1,A2,A3）中选A1,A2放到天平两端称量.
（2.2.1）若平衡,A1,A2为真币,A3为假币；
（2.2.2）若不平衡,A1,A2中较重的那枚是假币.
总之,至多称量3次,就可找出那枚假币.