如图，光滑的平行金属导轨水平放置，导轨间距为L，左侧接一阻值为R的电阻．矩形区域abfe内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B．导轨上ac段和bd段单位长度的电阻

Question

如图，光滑的平行金属导轨水平放置，导轨间距为L，左侧接一阻值为R的电阻．矩形区域abfe内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B．导轨上ac段和bd段单位长度的电阻为r₀，导轨其余部分电阻不计，且ac=bd=x₁．一质量为m，电阻不计的金属棒MN置于导轨上，与导轨垂直且接触良好．金属棒受到一个水平拉力作用，从磁场的左边界由静止开始作匀加速直线运动，加速度大小为a．棒运动到cd处撤去外力，此后棒的速度v_t随位移x的变化规律满足vt＝v0−(B2L2)/(mR总)x，且棒在运动到磁场右边界ef处恰好静止．求：
（1）用法拉第电磁感应定律导出本题中金属棒在区域abdc内切割磁感线时产生的感应电动势随时间t变化的表达式；
（2）df的长度x₂应满足什么条件；
（3）金属棒运动过程中流过电阻R的最大电流值和最小电流值．

Answer 1

（1）导体MN向右切割磁感线运动的速度v=at，在极短时间△t内导体MN移动的距离是v△t，穿过回路的磁通量的变化量为：
△φ=B△S=BL（V△T），
ɛ_感=(△φ)/(△t)=(BL(v．△t))/(△t)=BLv=BLat
（2）金属棒到达cd时的速度为：
v₁=√(2ax1)
R_总=R+2r₀x₁，
则v_t=v₀-(B2L2)/(MR总)x，
得：x₂=(√(2ax)•m•(R+2r0•x1))/(B2L2)；
（3）在df段：速度减小，感应电动势减小且回路总电阻恒定，所以感应电流减小，当速度减为零时，感应电流也为零，即电流最小值为零；或当t=0时电流最小值为零；
在bd段：
I=(BLat)/(R+2v0.(1)/(2)at2)=(BLa)/((R)/(t)+r0．at)．
最大电流值讨论：
①当满足(R)/(t)=r₀．at，即：t=√((R)/(r0a))=且√((R)/(r0a))≤√((2x1)/(a))（在bd段内能达到最大电流），
I_max=(BL)/(2)√((a)/(Rv0))；
②当t=√((R)/(r0a))＞√((2x1)/(a))时，当导体棒加速运动到cd处时，I_mex=(BL√(2ax1))/(R+2v0．x1)．
答：（1）用法拉第电磁感应定律导出本题中金属棒在区域abdc内切割磁感线时产生的感应电动势随时间t变化的表达式为BLat；
（2）df的长度x₂应满足的条件为x₂=(√(2ax)•m•(R+2r0•x1))/(B2L2)；
（3）金属棒运动过程中，当满足(R)/(t)=r₀．at，I_max=(BL)/(2)√((a)/(Rv0))；当t=√((R)/(r0a))＞√((2x1)/(a))时，I_mex=(BL√(2ax1))/(R+2v0．x1)．电流最小值为0．