过双曲线x^2/9-y^2/16=1的右焦点F作倾角为45度的弦AB,求AB的长度及AB的中点M到右焦点F的距离

Question

过双曲线x^2/9-y^2/16=1的右焦点F作倾角为45度的弦AB,求AB的长度及AB的中点M到右焦点F的距离

Answer 1

右焦点 （5,0） 倾斜角为45度 即 直线斜率为1
则得直线方程 y=x-5
带入椭圆方程
x^2/9-y^2/16=1
x^2/9-(x-5)^2/16=1
7x^2+90x-369=0
x1+x2=-90/7
x1x2=-369/7
M的横坐标为(x1+x2)/2=-45/7
纵坐标为Y值为：(y1+y2)/2=-80/7
所以中点C 为：C(-45/7,-80/7)
IMFI^2=(-45/7-5)^2+(-80/7-0)^2=2*(80/7)^2
M到F的距离为：ICFI=80/7*√2
(x2-x1)^2=(x2+x1)^2-4x1x2=(-45/7)^2+4*369/7=2025/49+10332/49=12357/49
(y2-y1)^2=(x2-x1)^2
IABI^2=2(x2-x1)^2=24714/49
弦长AB的绝对值IABI=√24714/7