如图所示，O为半径等于R的原来不带电的导体球的球心，O1、O2、O3为位于球内的三个半径皆为r的球形空腔的球心，它们与O共面，已知．在OO1、OO2

Question

如图所示， O 为半径等于 R 的原来不带电的导体球的球心， O 1 、 O 2 、 O 3 为位于球内的三个半径皆为 r 的球形空腔的球心，它们与 O 共面，已知 ．在 OO 1 、 OO 2 的连线上距 O 1 、 O 2 为 的 P 1 、 P 2 点处分别放置带电量为 q 1 和 q 2 的线度很小的导体（视为点电荷），在 O 3 处放置一带电量为 q 3 的点电荷，设法使 q 1 、 q 2 和 q 3 固定不动．在导体球外的 P 点放一个电量为 Q 的点电荷， P 点与 O 1 、 O 2 、 O 3 共面，位于 的延长线上，到 O 的距离 ．

1 ．求 q 3 的电势能． ­­­­

2 ．将带有电量 q 1 、 q 2 的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？   此时 q 3 的电势能为多少？ ­­­­

Answer 1

1 ．由静电感应知空腔 1 、 2 及 3 的表面分别出现 ­­ 电量为 、 和 的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量 ­­ ．由静电屏蔽可知，点电荷 q 1 及感应电荷（ ）在空腔外产生的电场为零；点电荷 q 2 及感应电荷（ ­­ ）在空腔外产生的电场为零；点电荷 q 3 及感应电荷（ ­­ ）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量 作球对称分布．

当球外 P 点处放置电荷 Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为 ，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的 Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．

O 3 处的电势由位于 P 点处的 Q 、导体球表面的电荷 及空腔 3 表面的感应电荷（ ）共同产生．无论 在球面上如何分布，球面上的面电荷到 O 点的距离都是 R ，因而在 O 点产生的电势为 ，  Q 在 O 点产生的电势为 ，这两部分电荷在 O 3 点产生的电势 与它们在 O 点产生的电势相等，即有

      （ 1 ）

因 q 3 放在空腔 3 的中心处，其感应电荷 在空腔 3 壁上均匀分布．这些电荷在 O 3 点产生的电势为

                                         (2)

根据电势叠加定理， O 3 点的电势为

               (3)

故 q 3 的电势能

                 (4)

2 ．   由于静电屏蔽，空腔 1 外所有电荷在空腔 1 内产生的合电场为零，空腔 1 内的电荷 q 1 仅受到腔内壁感应电荷 的静电力作用，因 q 1 不在空腔 1 的中心 O 1 点，所以感应电荷 在空腔表面分布不均匀，与 q 1 相距较近的区域电荷面密度较大，对 q 1 的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静电力作用下， q 1 最后到达空腔 1 表面，与感应电荷 中和．同理，空腔 2 中 q 2 也将在空腔表面感应电荷 的静电力作用下到达空腔 2 的表面与感应电荷 中和．达到平衡后，腔 1 、 2 表面上无电荷分布，腔 3 表面和导体球外表面的电荷分布没有变化． O 3 的电势仍由球外的电荷 Q 和导体球外表面的电量 及空腔 3 内壁的电荷

作业帮用户 2017-03-14