已知x，y，z∈R+，求证：（1）（x+y+z）3≥27xyz；（2）(xy+yz+zx)(yx+zy+xz)≥9；（3）（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．

Question

已知x，y，z∈R⁺，求证：
（1）（x+y+z）³≥27xyz；  
（2）((x)/(y)+(y)/(z)+(z)/(x))((y)/(x)+(z)/(y)+(x)/(z))≥9；  
（3）（x+y+z）（x²+y²+z²）≥9xyz．

Answer 1

证明：（1）∵x，y，z∈R⁺，∴x+y+z≥3

3

xyz

，当且仅当x=y=z时，取等号，∴（x+y+z）³≥27xyz；  
（2）∵x，y，z∈R⁺，∴(x)/(y)+(y)/(z)+(z)/(x)≥3

3	(x)/(y)•(y)/(z)•(z)/(x)

=3，(y)/(x)+(z)/(y)+(x)/(z)≥3

3	(y)/(x)•(z)/(y)•(x)/(z)

=3，当且仅当x=y=z时，取等号，
∴两式相乘，可得((x)/(y)+(y)/(z)+(z)/(x))((y)/(x)+(z)/(y)+(x)/(z))≥9；
（3））∵x，y，z∈R⁺，∴x+y+z≥3

3

xyz

，x²+y²+z²≥3

3

x2y2z2

，当且仅当x=y=z时，取等号，
∴两式相乘可得（x+y+z）（x²+y²+z²）≥9xyz．