设过椭圆x＾2+4y＾2=1上的三点A（0,1/2）B（x,y）C（x,-y）的圆的半径为r,且y>0,求r的极限x→0

Question

设过椭圆x＾2+4y＾2=1上的三点A（0,1/2）B（x,y）C（x,-y）的圆的半径为r,且y>0,求r的极限x→0

Answer 1

首先,三角形外接圆的圆心为三条中垂线的交点.BC中垂线为X轴,即圆心在X轴上.
AB的中点为（x/2,1/4+y/2）,AB的斜率为（y-1/2）/x,则AB中垂线的斜率为x/（1/2-y）,由AB中垂线的斜率和中垂线经过的点可以写出AB中垂线的方程：Y=2x/（1-2y）X+（4x²+4y²-1）/（8y-4）
由于（x,y）在椭圆上,则其满足椭圆方程,代入化简得方程为Y=2x/（1-2y）X+（3x²）/（8y-4）
显然该直线与X轴交点即为圆心,则将Y=0代入上式得X=3x/8
所以圆心坐标为（3x/8,0）
圆心到A的距离即为圆的半径.所以r=根号下（9x²/64+1/4）
那么当x→0时r=1/2
由于下标不好写,所以我用大小写区分.