已知：△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M作垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连接AM．（1）求证：△MAD∽△MEA；（2）若BC=10，BD=7，求ME的长．

Question

已知：△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M作垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连接AM．
（1）求证：△MAD∽△MEA；
（2）若BC=10，BD=7，求ME的长．

Answer 1

（1）证明：∵AM是直角△ABC的斜边中线，
∴MA=MB，∠B=∠DAM；
∵∠BAC=90°，EM⊥BC，
∴∠E+∠ECM=∠B+∠ECM，
∴∠E=∠B，
∴∠E=∠DAM，而∠AMD=∠AME，
∴△MAD∽△MEA．
（2） ∵BC=10，BD=7，
∴BM=MC=5；由勾股定理得：
DM²=BD²-BM²
=49-25，
∴DM=2√(6)；
∵∠B=∠E，∠DMB=∠CME，
∴△BMD∽△EMC，
∴(BM)/(ME)=(DM)/(MC)，
∴ME=(25√(6))/(12)．