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己知如图,在梯形ABCD中,AB∥CD.AC、BD为对角线,MN∥CB.且与AB、DC分别相交于点M、N.与DB、AC分别相交于点P、Q.(1)求证:MP=QN;(2)如果AD=3,BC=7,AM:MB=3:2,求PQ的长.

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己知如图,在梯形ABCD中,AB∥CD.AC、BD为对角线,MN∥CB.且与AB、DC分别相交于点M、N.与DB、AC分别相交于点P、Q.
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(1)求证:MP=QN;
(2)如果AD=3,BC=7,AM:MB=3:2,求PQ的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵PM∥BC,
∴△AMP∽△ABC,
MP
BC
=
AM
AB

∵QN∥BC,
∴△DQN∽△DBC,
QN
BC
=
DQ
DB

∵MQ∥AD,
∴△BMQ∽△BAD,
BM
AB
=
BQ
BD

AM
AB
=
DQ
DB

MP
BC
=
QN
BC

∴MP=QN;
(2) 由(1)中的结论得到△BMQ∽△BAD,
MQ
AD
=
BM
BA
,即
MQ
3
=
2
2+3
,解得MQ=
6
5

MP
BC
=
AM
AB

MP
7
=
3
3+2
,解得MP=
21
5

∴PQ=MP-MQ=
21
5
-
6
5
=3.
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