己知如图，在梯形ABCD中，AB∥CD．AC、BD为对角线，MN∥CB．且与AB、DC分别相交于点M、N．与DB、AC分别相交于点P、Q．（1）求证：MP=QN；（2）如果AD=3，BC=7，AM：MB=3：2，求PQ的长．

Question

己知如图，在梯形ABCD中，AB∥CD．AC、BD为对角线，MN∥CB．且与AB、DC分别相交于点M、N．与DB、AC分别相交于点P、Q．

（1）求证：MP=QN；
（2）如果AD=3，BC=7，AM：MB=3：2，求PQ的长．

Answer 1

（1）证明：∵PM∥BC，
∴△AMP∽△ABC，
∴(MP)/(BC)=(AM)/(AB)，
∵QN∥BC，
∴△DQN∽△DBC，
∴(QN)/(BC)=(DQ)/(DB)，
∵MQ∥AD，
∴△BMQ∽△BAD，
∴(BM)/(AB)=(BQ)/(BD)，
∴(AM)/(AB)=(DQ)/(DB)，
∴(MP)/(BC)=(QN)/(BC)，
∴MP=QN；
（2） 由（1）中的结论得到△BMQ∽△BAD，
∴(MQ)/(AD)=(BM)/(BA)，即(MQ)/(3)=(2)/(2+3)，解得MQ=(6)/(5)，
∵(MP)/(BC)=(AM)/(AB)，
∴(MP)/(7)=(3)/(3+2)，解得MP=(21)/(5)，
∴PQ=MP-MQ=(21)/(5)-(6)/(5)=3．