如图，在平行四边形ABCD中，P1，P2，…，Pn是BD的n等分点，连接AP2并延长交BC于点E，连接APn-2并延长交CD于点F．（1）求证：EF∥BD；（2）设平行四边形ABCD的面积是S，若S△AEF=38S，求n的值．

Question

如图，在平行四边形ABCD中，P₁，P₂，…，P_n是BD的n等分点，连接AP₂并延长交BC于点E，连接AP_n-2并延长交CD于点F．
（1）求证：EF∥BD；
（2）设平行四边形ABCD的面积是S，若S_△AEF=(3)/(8)S，求n的值．

Answer 1

（1）证明：在平行四边形ABCD中，P₁、P₂…P_n-1是BD的n等分点
所以：DP_（n-2）÷DP₂=2÷（n-2）=BP₂÷B_（n-2）
连接CP₂、CP_（n-2），根据对角线互相平分可以证明四边形AP₂CP_（n-2）是平行四边形
故：AE∥CP_（n-2），则BE÷BC=BP₂÷BP（_n-2）=2÷（n-2）
同理：DF÷CD=DP_（n-2）÷DP₂=2÷（n-2）所以：CF÷CD=（n-4）÷（n-2）
故：BE÷BC=DF÷CD
故：EF∥BD．

（2）设平行四边形ABCD的面积为S_△AEF=(3)/(8)S，则其余四边形ABCD部分的面积为(5)/(8)S
又：S_△ADF÷（(1)/(2)S）=DF÷DC=2÷（n-2）即：S_△ADF=1÷（n-2）•S
同理：S_△ABE=1÷（n-2）•S
又：△CEF∽△CBD，故S_△CEF：S_△CBD=（CF÷CD）²
即：S_△CEF÷（(1)/(2)S）=[（n-4）÷（n-2）]²，即：S_△CEF=(1)/(2)[（n-4）÷（n-2）]²•S
故：1÷（n-2）•S+1÷（n-2）•S+(1)/(2)[（n-4）÷（n-2）]²•S=(5)/(8)S
故：1÷（n-2）+1÷（n-2）+(1)/(2)[（n-4）÷（n-2）]²=(5)/(8)
解得：n=6．