某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米（四舍五入，精确到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组

Question

某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米（四舍五入，精确到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．

（Ⅰ）求进入决赛的人数；
（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记X表示两人中进入决赛的人数，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．

Answer 1

（Ⅰ）第6小组的频率为1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴总人数为(7)/(0.14)=50（人）．…（2分）
∴第4、5、6组成绩均进入决赛，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）
即进入决赛的人数为36．…（4分）
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，进入决赛的概率为(36)/(50)=(18)/(25)，
∴X～(2，(18)/(25))，P(x=0)=

C

0 2

((7)/(25))2=(49)/(625)，
P（X=1）=

C

1 2

((7)/(25))((18)/(25))=(252)/(625)，
P(x=2)=

C

2 2

((18)/(25))2=(324)/(625)．…（6分）
∴所求分布列为：

X	0	1	2
P	(49)/(625)	(252)/(625)	(324)/(625)

EX=2×(18)/(25)=(36)/(25)，两人中进入决赛的人数的数学期望为(36)/(25)．…（8分）
（Ⅲ）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，
则基本事件满足的区域为：

8≤x≤10

9.5≤y≤10.5

，
事件A“甲比乙远的概率”满足的区域为x>y，如图所示．…（10分）
∴由几何概型P（A）=((1)/(2)×(1)/(2)×(1)/(2))/(1×2)=(1)/(16)．
即甲比乙远的概率为(1)/(16)．…（12分）