对某市2016年3月份高三诊断考试的数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N(11525).现从某校随机抽取50名学生的数学成绩，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间

Question

对某市2016年3月份高三诊断考试的数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N(115 25).现从某校随机抽取50名学生的数学成绩，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[80 90)，第二组[90 100)，……，第六组[130 140]，得到如下图所示的频率分布直方图．

（I）试求的值，并估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；

（II）从这50名学生中成绩在120分(含120分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．

附：若X～N(μ，σ²)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9974.

Answer 1

 (1)由频率分布直方图可知[120 130)的频率为：

1－(0.01×10＋0.024×10＋0.03×10＋0.016×10＋0.008×10)＝1－0.88＝0.12，

所以             ……………………………………………………2分

所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为

85×0.1＋95×0.24＋105×0.3＋115×0.16＋125×0.12＋135×0.08

＝8.5＋22.8＋31.5＋18.4＋15＋10.8＝107，

所以该校的平均成绩为107. ……………………………………………………………5分

(2)由于＝0.0013，根据正态分布：

∵P(115－3×5<X<115＋3×5)＝0.9974，

∴P(X≥130)＝＝0.0013，即0.0013×10000＝13，

所以前13名的成绩全部在130分以上，  …………………………………………7分

根据频率分布直方图这50人中成绩在130分以上(包括130分)的有0.08×50＝4人，而在[120 140]的学生共有0.12×50＋0.08×50＝10，所以X的取值为0 1 2 3，

所以P(X＝0)＝＝＝，

P(X＝1)＝＝＝，

P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝.

所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P

作业帮用户 2017-05-06