设u（x，y），v（x，y）是D上的连续可微函数，D是由分段光滑闭曲线围成的平面区域，∂D表示其正向边界．证明∬Du∂v∂xdxdy=∮∂Duvdy-∬Dv∂u∂xdxdy．

Question

设u（x，y），v（x，y）是D上的连续可微函数，D是由分段光滑闭曲线围成的平面区域，∂D表示其正向边界．证明∬Du(∂v)/(∂x)dxdy=∮∂Duvdy-∬Dv(∂u)/(∂x)dxdy．

Answer 1

证明：由于u（x，y），v（x，y）是D上的连续可微函数，因此uv是D上的连续可微函数
∴由格林公式，得
∮_∂Duvdy=

∫∫

D

(∂(uv))/(∂x)dxdy=∬D(u(∂v)/(∂x)+v(∂u)/(∂x))dxdy
即∬Du(∂v)/(∂x)dxdy=∮∂Duvdy-∬Dv(∂u)/(∂x)dxdy