设函数F（x，y，z）二阶连续可微，F（x，y，z）=0给定了一个光滑曲面S，D是S所围区域，且在D内F（x，y，z）<0，求积分∭D（divgradF||gradF||）dxdydz．

Question

设函数F（x，y，z）二阶连续可微，F（x，y，z）=0给定了一个光滑曲面S，D是S所围区域，且在D内F（x，y，z）<0，求积分

∭

D

（div(gradF)/(||gradF||)）dxdydz．

Answer 1

由题意，gradF=（F_x，F_y，F_z），因此(gradF)/(||gradF||)是表示
曲面S：F（x，y，z）=0上的单位外法向量

ne

，
∴div(gradF)/(||gradF||)=(1)/(||gradF||)(Fxx，Fyy，Fzz)
由高斯公式，得：

∭

D

（div(gradF)/(||gradF||)）dxdydz=

∫∫

S

((gradF)/(||gradF||)•

ne

)dS=

∫∫

S

dS=S