如图，已知在平行四边形ABCD中，E为AB边的中点，AFFD=12，FE与AC相交于G，求证：AG=14GC．

Question

如图，已知在平行四边形ABCD中，E为AB边的中点，(AF)/(FD)=(1)/(2)，FE与AC相交于G，求证：AG=(1)/(4)GC．

Answer 1

证明：延长FE交CB的延长线于H，如图所示，
易得△AEF≌△BEH，(AG)/(GC)=(AF)/(HC)，
又∵(AF)/(FD)=(1)/(2)，
∴(AF)/(AD)=(1)/(3)，
∴(AG)/(GC)=(AF)/(HC)=(1)/(4)，
∴AG=(1)/(4)GC．
补充：证明：延长FE交CB的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠AFE=∠H，
又∵AE=BE，∠AEF=∠BEH，
∴△AEF≌△BEH，
∴AF=BH，
∵AD∥BC，
∴△AGF∽△CGH，
∴AG：GC=AF：HC，
∵AF：FD=1：2，
∴AF=BH=(1)/(3)AD=(1)/(3)BC，
∴HC=4AF，
∴AF：HC=1：4，
∴AG：GC=1：4，
∴AG=(1)/(4)GC．