如图1，在平行四边形ABCD中，AC=CD．（1）求证：∠D=∠ACB；（2）若点E、F分别为边BC、CD上的两点，且∠EAF=∠CAD．（如图2）①求证：△ADF∽△ACE；②求证：AE=EF．

Question

如图1，在平行四边形ABCD中，AC=CD．

（1）求证：∠D=∠ACB；
（2）若点E、F分别为边BC、CD上的两点，且∠EAF=∠CAD．（如图2）
①求证：△ADF∽△ACE；
②求证：AE=EF．

Answer 1

证明：（1）∵AC=CD，
∴∠D=∠CAD．（1分）
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC．
∴∠CAD=∠ACB．（1分）
∴∠D=∠ACB．（1分）
（2）①∵∠EAF=∠CAD，
∴∠DAF=∠CAE．（2分）
又∵∠D=∠ACB，（1分）
∴△ADF∽△ACE．（2分）
②∵△ADF∽△ACE，
∴(AD)/(AF)＝(AC)/(AE)．（1分）
∵∠EAF=∠CAD，
∴△AEF∽△ACD．（1分）
∴(AE)/(EF)＝(AC)/(CD)．（1分）
又∵AC=CD，
∴AE=EF．（1分）