扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直于纸面。一质量为m、电量

Question

扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为 L ，磁场方向相反且垂直于纸面。一质量为 m 、电量为－ q ，重力不计的粒子，从靠近平行板电容器 MN 板处由静止释放，极板间电压为 U ，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角 θ ＝30 °。
(1)当Ⅰ区宽度 L ₁ ＝ L 、磁感应强度大小 B ₁ ＝ B ₀ 时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30°，求 B ₀ 及粒子在Ⅰ区运动的时间 t 。
(2)若Ⅱ区宽度 L ₂ ＝ L ₁ ＝ L 、磁感应强度大小 B ₂ ＝ B ₁ ＝ B ₀ ，求粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差 h 。
(3)若 L ₂ ＝ L ₁ ＝ L 、 B ₁ ＝ B ₀ ，为使粒子能返回Ⅰ区，求 B ₂ 应满足的条件。
(4)若 B ₁ ≠ B ₂ 、 L ₁ ≠ L ₂ ，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出。为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射入的方向总相同，求 B ₁ 、 B ₂ 、 L ₁ 、 L ₂ 之间应满足的关系式。

Answer 1

（1）如图甲所示

设粒子射入磁场Ⅰ区的速度为 v ，在磁场Ⅰ区中做圆周运动的半径为 R ₁ ，由动能定理和牛顿第二定律得
qU ＝ mv ² ①
qvB ₁ ＝ m ②
由几何知识得
L ＝2 R ₁ sin θ ③
联立①②③式，代入数据得
B ₀ ＝ ④
设粒子在磁场Ⅰ区中做圆周运动的周期为 T ，运动的时间为 t
T ＝ ⑤
t ＝ T ⑥
联立②④⑤⑥式，代入数据得
t ＝ ⑦
（2）设粒子在磁场Ⅱ区做圆周运动的半径为 R ₂ ，由牛顿第二定律得
qvB ₂ ＝ m ⑧
由几何知识可得
h ＝( R ₁ ＋ R ₂ )(1－cos θ )＋ L tan θ ⑨
联立②③⑧⑨式，代入数据得
h ＝(2－ ) L ⑩
（3）如图乙所示

为使粒子能再次回到Ⅰ区，应满足
R ₂ (1＋sin θ )＜ L
[或 R ₂ (1＋sinθ)≤ L ]
联立①⑧ 式，代入数据得
B ₂ ＞
(或 B _2≥ )
（4）如图丙(或图丁)所示

设粒子射出磁场Ⅰ区时速度与水平方向的夹角为 α ，由几何知识可得
L ₁ ＝ R ₁ (sin θ ＋sin α )
[或 L ₁ ＝ R ₁ (sin θ －sin α )]
L ₂ ＝ R ₂ (sin θ ＋sin α )
[或 L ₂ ＝ R ₂ (sin θ －sin α )]
联立②⑧式得
B ₁ R ₁ ＝ B ₂ R ₂
联立 式得
B ₁ L ₁ ＝ B ₂ L ₂