扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆，其简化模型如图所示：I、II两处的条形匀强磁场区域的宽度分别为L1、L2，边界竖直，I区域的右边界和II区域的左边

Question

扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆，其简化模型如图所示：I、II两处的条形匀强磁场区域的宽度分别为L ₁ 、L ₂ ，边界竖直，I区域的右边界和II区域的左边界相距L，磁感应强度大小分别为B ₁ 、B ₂ ，方向相反且垂直纸面。一质量为m、电量为－q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器的负极板处由静止释放，两极板间电压为U，粒子经电场加速后平行纸面射入I区域，射入时的速度方向与水平方向的夹角θ＝30°。
（1）当L ₁ ＝L，B ₁ ＝B ₀ 时，粒子从I区域右边界射出时速度与水平方向的夹角也为30°，求B ₀ 及粒子在I区域中运动的时间t ₁ ；
（2）若L ₂ ＝L ₁ ＝L，B ₂ ＝B ₁ ＝B ₀ ，求粒子在I区域中的最高点与II区域中的最低点之间的高度差h；
（3）若L ₂ ＝L ₁ ＝L，B ₁ ＝B ₀ ，为使粒子能返回I区域，求B ₂ 应满足的条件；
（4）若L ₁ ≠L ₂ ，B ₁ ≠B ₂ ，且已保证粒子能从II区域的右边界射出，为使粒子从II区域右边界射出时速度与从I区域左边界射入时的方向总相同，求B ₁ 、B ₂ 、L ₁ 、L ₂ 之间应满足的关系式。

Answer 1

（1）t ₁ ＝  （2）h＝h ₁ ＋h ₂ ＋h ₃ ＝(2－ )L （3）B ₂ ≥  （4）B ₁ L ₁ ＝B ₂ L ₂

（1）在电场中，由动能定理有
qU＝ mv ₀ ² －0    ………………… ①（1分）
在磁场1区域中，粒子的运动轨迹如图1所示，

由几何关系有
L＝2R ₀ sinθ      ……………………… ②（1分）
由牛顿第二定律有
qv ₀ B ₀ ＝m   ……………………… ③（1分）
由①②③解得：B ₀ ＝       … ④（1分）
由运动学规律有
R ₀ ·2θ＝v ₀ t ₁       ……………………… ⑤（1分）
得：t ₁ ＝       …………… ⑥（1分）
（2）粒子的运动轨迹如图2所示，

由几何关系有
h ₁ ＝h ₃ ＝R ₀ －R ₀ cosθ   …………… ⑦（2分）
h ₂ ＝Ltanθ  ………………………… ⑧（2分）
故所求高度差
h＝h ₁ ＋h ₂ ＋h ₃ ＝(2－ )L    …… ⑨（1分）
（3）粒子的运动轨迹如图3所示，

由几何关系有
L＝R ₂ ＋R ₂ sinθ      ………………… ⑩（2分）
由牛顿第二定律有
qv ₀ B ₂ ＝m    …………………… ⑾（1分）
由①⑩⑾解得：B ₂ ＝    … ⑿（1分）
所以满足条件为B ₂ ≥      … ⒀（1分）
（4）粒子的运动轨迹如图4所示，

设粒子从I区域射出时与水平方向的夹角
为α，由几何关系有
L ₁ ＝R ₁ sinθ＋R ₁ sinα       ………… ⒁（1分）
L ₂ ＝R ₂ sinθ＋R ₂ sinα       ………… ⒂（1分）
或
L ₁ ＝R ₁ sinθ－R ₁ sinα
L ₂ ＝R ₂ sinθ－R ₂ sinα    
由牛顿第二定律有
qv ₀ B ₁ ＝m     ………………… ⒃（1分）
qv ₀ B ₂ ＝m     ………………… ⒄（1分）
由⒁⒂⒃⒄解得：B ₁ L ₁ ＝B ₂ L ₂  … ⒅（2分）
本题考查带电粒子在有界磁场中的运动，难度较大，先根据电场力做功求得末速度，和几何关系求得半径，再由洛伦兹力提供向心力求得磁感强度大小，在两个磁场中由于磁场方向不同，偏转方向正好相反，先画出运动轨迹，再由几何关系求得半径大小，由洛伦兹力提供向心力列式求解