（2014•南京联合体一模）如图，等腰△ABC，AB=BC=4，AC=6，点E、D分别是AB与AC边上的两个动点，满足∠EDB=∠A．（1）在图①中，说明：△ADE∽△CBD；（2）在图②中，若AE=2.25，说明：AC与过点B

Question

（2014•南京联合体一模）如图，等腰△ABC，AB=BC=4，AC=6，点E、D分别是AB与AC边上的两个动点，满足∠EDB=∠A．

（1）在图①中，说明：△ADE∽△CBD；
（2）在图②中，若AE=2.25，说明：AC与过点B、E、D三点的圆相切；
（3）在图③中，设AE=m，m在何范围内，AC边上存在两个点D，满足∠EDB=∠A？

Answer 1

（1）∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵∠EDB=∠A，
∴∠EDB=∠C，
∵∠ADB=∠ADE+∠EDB，∠ADB=∠CBD+∠C，
∴∠ADE=∠CBD，
∴△ADE∽△CBD；

（2）∵△ADE∽△CBD，
∴(AD)/(BC)=(AE)/(DC)，
∵DC=6-AD，
∴(AD)/(4)=(2.25)/(6−AD)，
∴AD=3，
∴DC=3，
∵AB=BC，
∴BD⊥AC
∴∠AED=∠CDB=90°，
∴BD为圆的直径，
∴AC与过点B、E、D三点圆相切；

（3）∵△ADE∽△CBD，
∴(AD)/(BC)=(AE)/(DC)，
设AD=x，则(x)/(4)=(m)/(6−x)，
∴6x-x²=4m，
∴x²-6x+4m=0，
∵AC边上存在两个点D，
∴6²-16m＞0，
∴m＜(9)/(4)，
∴0＜m＜(9)/(4)时，AC边上存在两个点D，满足∠EDB=∠A．