已知在递增等差数列{an}中，a1=2，a1，a3，a7成等比数列数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2n+1−2．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设cn＝abn，求数列{cn}的前n和Tn．

Question

已知在递增等差数列{a_n}中，a₁=2，a₁，a₃，a₇成等比数列数列{b_n}的前n项和为S_n，且Sn＝2n+1−2．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设cn＝abn，求数列{c_n}的前n和T_n．

Answer 1

∵a₁=2，a₁，a₃，a₇成等比数列
∴a32＝a1a7
设等差数列的公差d，则（2+2d）²=2（2+6d），d＞0
∴d=1，a_n=n+1
∵Sn＝2n+1−2．
∴b₁=s₁=2
b_n=s_n-s_n-1=2ⁿ⁺¹-2-2ⁿ+2=2ⁿ（n≥2）
当n=1时也适合
∴b_n=2ⁿ
（2）∵cn＝abn=2ⁿ+1
∴Tn＝(2+1)+(22+1)+…+(2n+1)
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（1+1+1+…+1）
=(2(1−2n))/(1−2)+n
=2ⁿ⁺¹-2+n