设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．

Question

设各项均为正数的数列{a _n }的前n项和为S _n ，满足 ，且a ₂ ，a ₅ ，a ₁₄ 构成等比数列．
（1）证明： ；
（2）求数列{a _n }的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有 ．

Answer 1

分析：
（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．

（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵an＞0，∴an+1=an+2，∴当n≥2时，{an}是公差d=2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2-a1=3-1=2，∴{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{an}的通项公式an=2n-1．（3）由（2）可得式=．∴
点评：
熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系an=Sn-Sn-1（n≥2）是解题的关键．