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设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足,且a2,a5,a14构成等比数列.(1)证明:;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有.
题目详情
设各项均为正数的数列{a n }的前n项和为S n ,满足
,且a 2 ,a 5 ,a 14 构成等比数列.
(1)证明:
;
(2)求数列{a n }的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有
.

(1)证明:

(2)求数列{a n }的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有

▼优质解答
答案和解析
分析:
(1)对于,令n=1即可证明;(2)利用,且,(n≥2),两式相减即可求出通项公式.(3)由(2)可得=.利用“裂项求和”即可证明.
(1)当n=1时,,∵(2)当n≥2时,满足,且,∴,∴,∵an>0,∴an+1=an+2,∴当n≥2时,{an}是公差d=2的等差数列.∵a2,a5,a14构成等比数列,∴,,解得a2=3,由(1)可知,,∴a1=1∵a2-a1=3-1=2,∴{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列.∴数列{an}的通项公式an=2n-1.(3)由(2)可得式=.∴
点评:
熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系an=Sn-Sn-1(n≥2)是解题的关键.
分析:
(1)对于,令n=1即可证明;(2)利用,且,(n≥2),两式相减即可求出通项公式.(3)由(2)可得=.利用“裂项求和”即可证明.
(1)当n=1时,,∵(2)当n≥2时,满足,且,∴,∴,∵an>0,∴an+1=an+2,∴当n≥2时,{an}是公差d=2的等差数列.∵a2,a5,a14构成等比数列,∴,,解得a2=3,由(1)可知,,∴a1=1∵a2-a1=3-1=2,∴{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列.∴数列{an}的通项公式an=2n-1.(3)由(2)可得式=.∴
点评:
熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系an=Sn-Sn-1(n≥2)是解题的关键.
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