已知数列｛an｝的前N项和Sn,｛Sn+1｝是以公比为2等比数列,a2是a1和a3等比中项,求数列｛an｝的通项公式

Question

已知数列｛an｝的前N项和Sn,｛Sn+1｝是以公比为2等比数列,a2是a1和a3等比中项,求数列｛an｝的通项公式

Answer 1

数列{Sn+1}是公比为2的等比数列
S(n)+1=2^(n-1)(S1+1)=2^(n-1)(a1+1) ①
S(n-1)+1=2^(n-2)(a1+1) ②
①-②得
an=2^(n-2)(a1+1) ,n≥2
a2=a1+1
a3=2(a1+1)
a2是a1和a3的等比中项,故
a2^2=a1a3
(a1+1)^2=a1*2(a1+1)
解得a1=1(a1=-1则a2=0不合题意舍去）
故an=2^(n-1)
(2)Tn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+……+n*2^(n-1)①
2Tn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n ②
②-①得
Tn=n*2^n-[1*2^0+1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+1*2^(n-1)]
=n*2^n-1*(1-2^n)/(1-2)
=n*2^n-(2^n-1)
=(n-1)*2^n+1