设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a3=4，S2=3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=2log2a2n⋅log2a2n+2，令数列{bn}的前n项和为Tn．证明：Tn＜1．

Question

设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=4，S₂=3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=(2)/(log2a2n⋅log2a2n+2)，令数列{b_n}的前n项和为T_n．证明：T_n＜1．

Answer 1

（1）由题意可得

a1q2＝4

a1+a1q＝3

解得

a1＝1

q＝2

；
所以an＝2n−1．
（2）bn＝(2)/(log2a2n•log2a2n+2)=(2)/((2n−1)(2n+1))
=(1)/(2n−1)−(1)/(2n+1)
所以Tn＝1−(1)/(3)+(1)/(3)−(1)/(5)+…+(1)/(2n−1)−(1)/(2n+1)=1−(1)/(2n+1)，
因为(1)/(2n+1)＞0，所以T_n＜1．