已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面AC,在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的E点有两个时,a的取值范围

Question

已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面AC,在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的E点有两个时,a的取值范围

Answer 1

PA垂直底面,所以PA垂直DE,要想PE垂直DE,则等价于DE垂直AE（射影定理及逆定理,AE为PE的射影）
设BE为x.则由AE垂直DE得AD^2=AE^2+DE^2.即
a^2=3^2+x^2+3^2+(a-x)^2
整理得x^2-ax+9=0
依题意,需要上述方程在[0,a]内有两个不同的根.
f(x)=x^2-ax+9过定点（0,9）和（a,9）,对称轴为 a/2,且开口朝上
只需判别式大于0,即a^2-4*9>0 ,得到 a>6 (小于-6的显然舍弃)