如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．

Question

如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB．
（1）求证：PE=PD；
（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD，
在△PBC和△PDC中，

BC＝CD

∠ACB＝∠ACD

PC＝PC

，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB=PD，
∵PE=PB，
∴PE=PD；

（2）判断∠PED=45°．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵△PBC≌△PDC，
∴∠PBC=∠PDC，
∵PE=PB，
∴∠PBC=∠PEB，
∴∠PDC=∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°，
在四边形PECD中，∠EPD=360°-（∠PDC+∠PEC）-∠BCD=360°-180°-90°=90°，
又∵PE=PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴∠PED=45°．