已知f（x）=x1+x，数列{an}为首项是1，以f（1）为公比的等比数列；数列{bn}中b1=12，且bn+1=f（bn）．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）令cn=an（1bn-1），{cn}的前n项和为Tn，证明：对∀n∈N+有

Question

已知f（x）=(x)/(1+x)，数列{a_n}为首项是1，以f（1）为公比的等比数列；数列{b_n}中b₁=(1)/(2)，且b_n+1=f（b_n）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n（(1)/(bn)-1），{c_n}的前n项和为T_n，证明：对∀n∈N₊有T_n＜4．

Answer 1

（1）f（1）=12，∵数列{an}为首项是1，以f（1）为公比的等比数列，∴an=(12)n-1．∵bn+1=f（bn）=bn1+bn，∴1bn+1=1bn+1，即1bn+1-1bn=1．∴数列{1bn}是以1b1=2为首项，1为公差的等差数列，∴1bn=2+(n-1)×1=n+1，...