在等比数列{an}中，a4=23，a3+a5=209．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}的公比大于1，且bn=log3an2，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

在等比数列{a_n}中，a4=(2)/(3) ， a3+a5=(20)/(9)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的公比大于1，且bn=log3(an)/(2)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则q≠0，
∵a4=(2)/(3) ， a3+a5=(20)/(9)
∴(2)/(3q)+(2q)/(3)=(20)/(9)
所以(2)/(q)+2q=(20)/(3)，解得q1=(1)/(3)，q2=3，
当q1=(1)/(3)时，a₁=18．所以an=18×((1)/(3))n-1=2×33-n．
当q₂=3时，a1=(2)/(81)，所以an=(2)/(81)×3n-1=2×3n-5．
（2）由（1）及数列公比大于1，得q=3，an=2×3n-5，
∴bn=log3(an)/(2)=log33n-5=n-5，b_n-b_n-1=1（常数），
∵b₁=-4．
所以数列{b_n}为首项为-4，公差为1的等差数列，
由等差数列的求和公式可得，Sn=(b1+bn)/(2)n=(n2-9n)/(2)．