（理）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为Tn，证明Tn＜．

Question

（理）已知{a _n }是公差不为零的等差数列，a ₁ =1，且a ₁ ，a ₃ ，a ₉ 成等比数列．
（1）求数列{a _n }的通项公式；（2）设数列{ }的前n项和为T _n ，证明T _n ＜ ．

Answer 1

分析：
（1）由题意可得：a3=a1+2d，a9=a1+8d．结合a1、a3、a9成等比数列，得到d．进而求出数列{an}的通项公式．（2）根据（1）中得出的数列{an}的通项公式，从而求得数列{}的通项公式，再利用拆项法求出其前n项和即可证得结论．

（1）由题设知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9成等比数列得，…（4分）解得d=1，d=0（舍去），…（4分）故{an}的通项an=1+（n-1）×1=n．                         …（5分）（2）（理）∵n≥2时，，…（7分）∴．∵n∈N*，∴．…（10分）
点评：
解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题．另外裂项求和是常考数列求和的方法，并通过放缩法证明不等式．此题非常好，很典型．