已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，动点P在直线BC上运动（不与点B、C重合）．（1）如图1，点P在线段BC上，作∠APQ=45°，PQ交AC于点Q．①求证：△ABP∽△PCQ；②当△APQ是等腰三角形时，

Question

已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，动点P在直线BC上运动（不与点B、C重合）．
（1）如图1，点P在线段BC上，作∠APQ=45°，PQ交AC于点Q．
①求证：△ABP∽△PCQ；②当△APQ是等腰三角形时，求AQ的长．
（2）①如图2，点P在BC的延长线上，作∠APQ=45°，PQ的反向延长线与AC的延长线相交于点D，是否存在点P，使△APD是等腰三角形？若存在，写出点P的位置；若不存在，请简要说明理由；
②如图3，点P在CB的延长线上，作∠APQ=45°，PQ的延长线与AC的延长线相交于点Q，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，写出点P的位置；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

（1）①∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAP+∠APB=135°，
∠APB+∠QPC=135°，
∴∠BAP=∠QPC，
∴△ABP∽△PCQ；
②当AP=AQ时，∠APQ=∠AQP=45°，
∴∠PAQ=90°，
∴点P与点B、点Q与点C重合，不合题意；
当AP=PQ时，∵△ABP∽△PCQ，
∴△ABP≌△PCQ，
∴AB=PC=2，
∴BP=CQ=2√(2)-2，
∴AQ=AC-CQ=4-2√(2)；
当AQ=PQ时，∠PAQ=∠APQ=45°，
∴∠APC=∠AQP=90°，
∴AQ=PQ=QC=1；
（2）存在，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAP+∠APC=45°，
∵∠APQ=45°，
∴∠CAP+∠D=45°，
∴∠APC=∠D，
∴△CAP∽△PAD，
∴(AC)/(AP)=(PC)/(PD)，又AP=PD，
∴PC=AC=2；
（3）不存在，
∵P和B不重合，
∴∠PAQ>90°，
∴∠APQ=45°，∠AQP<45°，
∴AP≠AQ．