在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）说明：BE2+CF2=EF2；（2）若BE=12，CF=5，试求△DEF的面积．

Question

在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）说明：BE²+CF²=EF²；
（2）若BE=12，CF=5，试求△DEF的面积．

Answer 1

（1）证明：连接AD，如图所示：
∵AB=AC，D为BC的中点，∠BAC=90°，
∴AD⊥BC，AD=CD=BD，∠C=∠B=45°，∠DAE=45°，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，
即∠CDF=∠ADE，
在△DCF和△ADE中，

∠C=∠DAE

CD=AD

∠CDF=∠ADE

，
∴△DCF≌△ADE（ASA），
∴CF=AE，DF=DE，
∴BE=AF，
∵AF²+AE²=EF²，
∴BE²+CF²=EF²；
（2） 由（1）知：AE=CF=5，同理AF=BE=12，
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=5²+12²=169，
∴EF=13，
又∵由（1）知：△AED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴DE=DF=EF•(√(2))/(2)=(13√(2))/(2)，
∴△DEF的面积=(1)/(2)DE²=(169)/(4)．