如图，在△ABC中，以A为顶点，以AB、AC为直角三角形的直角边向外侧作等腰直角三角形，连接DE，过A点向BC作垂线AG．反向延长AG交DE于H．（1）求证：S△ADE=S△ABC；（2）求证：AG平分DE．

Question

如图，在△ABC中，以A为顶点，以AB、AC为直角三角形的直角边向外侧作等腰直角三角形，连接DE，过A点向BC作垂线AG．反向延长AG交DE于H．

（1）求证：S_△ADE=S_△ABC；
（2）求证：AG平分DE．

Answer 1

（1）证明：作DP⊥GA，EQ⊥GA，垂足分别为P、Q．
∵Rt△ABD是等腰三角形，
∴DA=BA，
∵∠PDA+∠PAD=90°，
∠PAD+∠BAG=90°，
∴∠PDA=∠BAG，
在△DAP与△ABG中，

∠DPA=∠AGB=90°

∠PDA=∠GAP

DA=AB

，
∴△DAP≌△ABG（AAS），
∴DP=AG，
同理△AGC≌△EQA，AG=FQ．，
∴DP=EQ，
∴S_△ABG=S_△DAP，S_△EQA=S_△AGC，
在△DPH与△EQH中，

∠DPH=∠EQH

∠DHP=∠EHQ

HD=QE

，
∴△DPH≌△EQH（AAS），
∴S_△DPH=S_△EQH，
∴S_△ABC=S_△ABG+S_△AGC=S_△DAP-S_△DPH+S_△EQA-S_△EQH=S_△DAP+S_△EQA=S_△ADE，
即S_△ABC=S_△ADE．
（2）证明：∵△DPH≌△EQH（已证），
∴DH=HE，
∴AG平分DE．