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如图(1),在平面直角坐标系中,⊙O1与x轴相切于点A(3,0),与y轴相交于B、C两点,且BC=8,连接AB、O1B.(1)AB的长=1010;(2)求证:∠ABO1=∠ABO;(3)如图(2),过A、B两点作⊙O2与y轴
题目详情
如图(1),在平面直角坐标系中,⊙O1与x轴相切于点A(3,0),与y轴相交于B、C两点,且BC=8,连接AB、O1B.
(1)AB的长=
;
(2)求证:∠ABO1=∠ABO;
(3)如图(2),过A、B两点作⊙O2与y轴的负半轴交于点M,与O1B的延长线交于点N,连接AM、MN,当⊙O2的大小变化时,∠ABO1与∠AMN始终相等,问BM-BN的值是否变化,为什么?如果不变,请求出BM-BN的值.
(1)AB的长=
10 |
10 |
(2)求证:∠ABO1=∠ABO;
(3)如图(2),过A、B两点作⊙O2与y轴的负半轴交于点M,与O1B的延长线交于点N,连接AM、MN,当⊙O2的大小变化时,∠ABO1与∠AMN始终相等,问BM-BN的值是否变化,为什么?如果不变,请求出BM-BN的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)作O1E⊥BC于点E,
∴E为BC的中点,
∵BC=8,
∴BE=
BC=4,
∵A(-3,0),
∴O1E=OA=3,
在直角三角形O1BE中,
根据勾股定理得:O1B=
=
=5,
∴O1A=EO=5,
∴BO=5-4=1,
在直角三角形AOB中,
根据勾股定理得:AB=
=
.
故答案为:
;
(2)证明:连接O1A,则O1A⊥OA,
又∵OB⊥OA,
∴O1A∥OB,∠O1AB=∠ABO,
又∵O1A=O1B,
∴∠O1AB=∠O1BA,
∴∠ABO1=∠ABO;
(3)BM-BN的值不变.
理由为:在MB上取一点G,使MG=BN,连接AN、AG,
∵∠ABO1为四边形ABMN的外角,
∴∠ABO1=∠ABO,∠ABO1=∠AMN,
∴∠ABO=∠AMN,
又∵∠ABO=∠ANM,
∴∠AMN=∠ANM,
∴AM=AN,
∵∠AMG、∠ANB都为AB弧所对的圆周角,
∴∠AMG=∠ANB
∵在△AMG和△ANB中,
,
∴△AMG≌△ANB(SAS),
∴AG=AB,
∵AO⊥BG,
∴BG=2BO=2,
∴BM-BN=BM-MG=BG=2其值不变.
∴E为BC的中点,
∵BC=8,
∴BE=
1 |
2 |
∵A(-3,0),
∴O1E=OA=3,
在直角三角形O1BE中,
根据勾股定理得:O1B=
BE2+O1B2 |
42+32 |
∴O1A=EO=5,
∴BO=5-4=1,
在直角三角形AOB中,
根据勾股定理得:AB=
OA2+OB2 |
10 |
故答案为:
10 |
(2)证明:连接O1A,则O1A⊥OA,
又∵OB⊥OA,
∴O1A∥OB,∠O1AB=∠ABO,
又∵O1A=O1B,
∴∠O1AB=∠O1BA,
∴∠ABO1=∠ABO;
(3)BM-BN的值不变.
理由为:在MB上取一点G,使MG=BN,连接AN、AG,
∵∠ABO1为四边形ABMN的外角,
∴∠ABO1=∠ABO,∠ABO1=∠AMN,
∴∠ABO=∠AMN,
又∵∠ABO=∠ANM,
∴∠AMN=∠ANM,
∴AM=AN,
∵∠AMG、∠ANB都为AB弧所对的圆周角,
∴∠AMG=∠ANB
∵在△AMG和△ANB中,
|
∴△AMG≌△ANB(SAS),
∴AG=AB,
∵AO⊥BG,
∴BG=2BO=2,
∴BM-BN=BM-MG=BG=2其值不变.
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