过T(-1,0)做直线l与曲线N：y^2=x交于A、B,在x轴上是否存在E(x,0),使三角形ABE为等边三角形.若存在,求出x,若不存在,请说明理由.

Question

过T(-1,0)做直线l与曲线N：y^2=x交于A、B,在x轴上是否存在E(x,0),使三角形ABE为等边三角形.
若存在,求出x,若不存在,请说明理由.

Answer 1

这个题目计算比较复杂啊,以前做过类似的题目,你参考下自己来做吧.
直线过D（-1,0）且与抛物线y^2=4x交与A,B两点,是否x轴上存在一点E,使得三角形ABE为等边三角形.若有求E
由已知：设过点D（-1,0）的直线方程为：y＝k(x＋1) 联立y＝k(x＋1) 和y²＝4x 消去“x”得k²x²＋2(k²－2)x＋k²＝0 由已知Δ＝4（k²－2)²－4(k²)²＝－2(2k²－2)>0
∴k²＜1 且k不为0,
另设A(x1,y1) B(x2,y2) AB中点为N(x′,y′) 设E(m,0)
由韦达定理：x1+x2=(4-2k²)/k² ,x1x2=1；且y1+y2=4/k ,y1y2=4
∴N(2/k²-1,2/k) 则线段AB的中垂线NE交x由于E,∴直线NE斜率K′=－1/k
∴m=1＋2/k²
|AB|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1+x2)²+(y1+y2)²-4x1x2-4y1y2=16/(k²)²-16
|NE|²=4+4/k²
在正三角形中高为边的√3/2,即有：3|AB|²/4=|NE|²
得48(1/(k^4-1)=16(1+1/k²)==>3/k^4-1/k²+4=0
分解得(3/k²-4)(1/k²-1)=0
得k²=3/4 或k²=1(舍去)
即m=1+2/k²=11/3,故满足条件的点E(11/3,0).