△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,O为BC中点,∠MON=45°,∠MON的两边交直线AB于M、N(1)如图1,M、N在边AB上,求证；2AN×BM=AB²(2）如图2或如图3,M、N中有一点在边AB上,另一点在AB或BA的延长线上（1）中的结论成

Question

△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,O为BC中点,∠MON=45°,∠MON的两边交直线AB于M、N
(1)如图1,M、N在边AB上,求证；2AN×BM=AB²
(2）如图2或如图3,M、N中有一点在边AB上,另一点在AB或BA的延长线上（1）中的结论成立吗?
图1

Answer 1

(1) 连接AO,∠OAN=∠B=45°
而 ∠ONA=∠NOB+∠B=∠NOB+∠MON=∠MOB
△AON与△BMO相似,BM/AO=OB/AN
所以 AN.BM=AO.OB=AB²/2
(2) 此时 △AON与△BMO仍然相似,结论依然成立.