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将如图所示的边长为a的等边三角形铁片,剪去三个四边形,做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为V(x)。(1)写出函数V(x)的解析式,并求出函数的
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将如图所示的边长为a的等边三角形铁片,剪去三个四边形,做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为V(x)。 (1)写出函数V(x)的解析式,并求出函数的定义域; (2)求当x为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积。 |
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▼优质解答
答案和解析
(1)因为容器的高为x,则做成的正三棱柱形容器的底边长为 , 则 , 函数的定义域为 ; (2)实际问题归结为求函数V(x)在区间 上的最大值点, 先求V(x)的极值点,在开区间 内, , 令V′(x)=0,即 ,解得 ,x 2 = (舍去), 因为 在区间 内,x 1 可能是极值点, 当0<x<x 1 时,V′(x)>0; 当 时,V′(x)<0, 因为x 1 是极大值点,且在区间 内,x 1 是唯一的极值点, 所以 是V(x)的最大值点,并且最大值为 , 即当正三棱柱形容器高为 时,容器的容积最大为 。 |
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