如图，△ABC和△CDE是两个不全等的等边三角形．AC、AD分别交BE与G、F点，AD与CE交于H点．猜想：（1）△BCG与△ACH全等吗？若全等，请说明理由．（2）M、N分别是BE、AD的中点．①△BCM≌△CAN吗

Question

如图，△ABC和△CDE是两个不全等的等边三角形．AC、AD分别交BE与G、F点，AD与CE交于H点．猜想：

（1）△BCG与△ACH全等吗？若全等，请说明理由．
（2）M、N分别是BE、AD的中点．
①△BCM≌△CAN吗？
②△CMN是等边三角形吗？

Answer 1

（1）△BCG与△ACH全等，
∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACB+∠BCD=∠ACD，
∠DCE+∠BCD=∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC

∠ACD=∠BCE

CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠EBC，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=180°-∠ACB-∠DCE=60°，
∴∠ACB=∠ACH，
在△BCG和△ACH中，

∠GBC=∠CAH

BC=AC

∠GCB=∠ACH

，
∴△BCG≌△ACH．
（2）①△BCM≌△CAN，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠EBC=∠CAD，BE=AD，
∵M、N分别是BE、AD的中点，
∴BM=AN，
在△BCM和△CAN中，

BC=AC

∠MBC=∠NAC

BM=AN

，
∴△BCM≌△CAN（SAS）．
②△MNC是等边三角形．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，AD=BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中，
 

AC=BC

∠CAD=∠CBE

AM=BN

，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
∴∠MCN=∠BCM+∠BCN=∠BCM+∠ACM=∠ACB=60°，
∴△MNC是等边三角形．