令u=tan(2/x),求1/(5+4sinx)cosx的不定积分万能置换公式

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令u=tan(2/x),求1/(5+4sinx)cosx的不定积分
万能置换公式

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答案和解析

∫｛1/［（5＋4sinx）cosx］｝dx
＝∫｛cosx/［（5＋4sinx）（cosx）^2］｝dx
＝∫｛1/［5＋4sinx）（1＋sinx）（1－sinx）］｝d（sinx）
＝（1/2）∫［1/（5＋4sinx）］［1/（1－sinx）＋1/（1＋sinx）］d（sinx）
＝8∫｛1/［（5＋4sinx）（4－4sinx）］｝d（sinx）
＋8∫｛1/［（5＋4sinx）（4＋4sinx）］d（sinx）
＝（8/9）∫［1/（5＋4sinx）］d（sinx）＋（8/9）∫［1/（4－4sinx）］d（sinx）
＋8∫［1/（4＋4sinx）］d（sinx）－8∫［1/（5＋4sinx）］d（sinx）
＝2ln（4＋4sinx）－（2/9）ln（4－4sinx）－（16/9）ln（5＋4sinx）＋C.

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