在三棱锥A-BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB=AC=1，AD=2，E、F分别是BC、BD的中点．（1）求证：BC⊥面AED；（2）求A到面BCD的距离；（3）求二面角C-AE-F的大小．

Question

在三棱锥A-BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB=AC=1，AD=2，E、F分别是BC、BD的中点．
（1）求证：BC⊥面AED；
（2）求A到面BCD的距离；
（3）求二面角C-AE-F的大小．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC=1，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
又∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC=A．
∴AD⊥平面ABC．
∴BC⊥DE．
∵AE∩DE=E，∴BC⊥面AED．
（2）∵VA−BCD＝(1)/(3)×(1)/(2)×1×2=(1)/(3)，S△BCD＝(1)/(2)BC×DE=(√(2))/(2)×√(5−(1)/(2))=(3)/(2)，
设A到面BCD的距离为h，∴(1)/(3)S△BCD•h＝(1)/(3)．解得h=(2)/(3)．
∴h＝(2)/(3)．
（3）建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，2），E((1)/(2)，(1)/(2)，0)，F((1)/(2)，0，1)．
则

AF

＝((1)/(2)，0，1)，

AE

＝((1)/(2)，(1)/(2)，0)．
设平面AEF的法向量为