三垂线定理的应用有哪些?

Question

三垂线定理的应用有哪些?

Answer 1

线射垂,线斜垂；线斜垂,线射垂
（1）用线面垂直证明
已知：如图,PO在α上的射影OA垂直于a
求证：OP⊥a
证明：过P做PA垂直于α
∵PA⊥α
且a∈α
∴a⊥PA
又a⊥OA
OA∩PA=A
∴a⊥平面POA
∴a⊥OP
（2）用向量证明三垂线定理
1.已知：PO,PA分别是平面α的垂线,斜线,OA是PA在α内的射影,b包含于α,且b垂直于OA,求证：b垂直于PA
证明：∵PO垂直于α,∴PO垂直于b,又∵OA垂直b,向量PA=（向量PO+向量OA）
∴向量PA×b=（向量PO+向量OA）×b=（向量PO×b）+（向量OA×b ）=O,∴PA⊥b.
2.已知三个平面OAB,OBC,OAC相交于一点O,∠AOB=∠BOC=∠COA=60度,求交线OA与平面OBC所成的角.
∵向量OA=（向量OB+向量AB）,O是内心,又∵AB=BC=CA,∴OA与平面OBC所成的角是30°.
使用
1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系.
2,a与PO可以相交,也可以异面.
3,三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证.即第一,找平面(基准面)及平面垂线第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直.
注：
1°定理中四条线均针对同一平面而言
2°应用定理关键是找"基准面"这个参照系
说明
（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）； （2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系.（4）直线a与PO可以相交,也可以异面.（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.（6）可用来解决异面直线所成的角和二面角的平面角等问题.